PROBABILIDAD

OBJETIVOS

1. Explicar las tres concepciones de probabilidad. 2. Describir un experimento aleatorio 3. Expresar un espacio muestral y un evento 4. Ubicar eventos mutuamente excluyentes 5. Emplear las reglas de la probabilidad para analizar situaciones en donde se presente incertidumbre 6. Aplicar la probabilidad condicional para responder algunas situaciones 7. Aplicar el teorema de Bayes

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

La probabilidad es la verosimilitud numérica de que ocurra un suceso y se mide entre cero y uno. Cuanto más probable de que ocurra un evento más se acerca a 1 y entre menos probable curra más se acerca a cero. Si el evento es seguro de que ocurra decimos que la probabilidad de la certidumbre es 1. Si el evento es imposible de que ocurra decimos que la probabilidad de la certidumbre es 0. Primera propiedad: La probabilidad de ocurrencia de un evento siempre está entre cero y uno. EXPERIMENTO: E Es toda acción que produce un resultado bien definido. Ejemplo 1: El lanzamiento de un dado tiene como resultados bien definidos entre uno y seis. Ejemplo 2: La inspección de un producto en una fábrica tiene dos posibles resultados: defectuoso o no defectuoso. ESPACIO MUESTRAL: S Es el conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento. Ejemplo 1: El espacio muestral de del experimento de lanzar un dado es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo 1: El espacio muestral de del experimento de lanzar una moneda es: S = {cara, sello} Segunda propiedad: La sumatoria de las probabilidades de un experimento es igual a uno ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD PROBABILIDAD CLÁSICA O A PRIORI Si un experimento puede concluir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y m de ellas tienen una misma característica A, se define la probabilidad de A, P(A), como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles, es decir: REGLA DE LAPLACE Hay que tener en cuenta que el experimento no se ejecuta en la realidad, sino que se hace hipotéticamente para enumerar los posibles resultados y hacer el análisis. Ejemplo 1: Suponga que un dado corriente se lanza una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga par? Solución: A: Salga par Número de casos favorables, m=3 que son: {2,4,6} Número de casos posibles n=6, que son: {1,2,3,4,5,6} Podemos decir: La probabilidad de que salga par es un medio,  La probabilidad de que salga par es 0.5 La probabilidad de que salga par es del 50 por ciento Ejemplo 2: Suponga que un dado corriente se lanza una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 8? Solución: Este es un caso en el que se considera como un evento imposible, ya que el dado no tiene en sus caras ni un solo 8. A: Salga 8 Número de casos favorables, m=0 Número de casos posibles, n=6

PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA O A POSTERIORI Para el cálculo de la probabilidad de A hace necesario tomar nota del número de observaciones m con que ocurre el evento A durante todo el experimento o número de ensayos n. Se denomina a posteriori ya que el resultado se obtiene después de hacer el ensayo un cierto número de veces relativamente grande. Se define como el número de observaciones sobre el tamaño de la muestra, es decir: Ejemplo: En un laboratorio se experimentan la una vacuna en de 10.000 pacientes y en ellos se observa que 10 de ellos presenta reacción alérgica al medicamento, entonces la probabilidad de que un paciente sea alérgico es: A: Ser alérgico La probabilidad de que un paciente sea alérgico al medicamento es de uno entre mil, o del 0,1 por ciento

PROBABILIDAD SUBJETIVA En un experimento, la probabilidad de un evento es el "grado de creencia" asignado a la ocurrencia de ese evento por un individuo en particular. Ejemplo: Si una persona no está segura de que ocurra un evento le puede dar de manera subjetiva un valor numérico, por decir algo: Tengo el grado de certeza de 1 a 3 que mas tarde lloverá, en la que influye el grado de creencia o experiencia del individuo.

DEFINICIONES BÁSICAS 

ESPACIO MUESTRAL Es un conjunto  formado por todos los posibles resultados de un experimento o suceso. Ejemplos:  Experimento - E Espacio Muestral - S  Lanzamiento de un dado {1,2,3,4,5,6} Hay 6 posibles resultados n=6  Lanzamiento de una moneda {cara, sello} Hay 2 posibles resultados n = 2  Lanzamiento de un dado dos veces o lanzamiento simultáneo de dos dados {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3 ), (6,4), (6,5), (6,6) } Hay 36 posibles resultados n = 36 EVENTO Es un subconjunto del espacio muestral, puede ser un evento imposible, un evento unitario, un evento idéntico al espacio muestral. Ejemplos: Experimento  E: Lanzamiento de un dado  evento  resultado A: Sale par  {2,4,6}  B: Cae múltiplo de 3 {3,6}  C: Sale nueve  {}   Experimento  E: Lanzamiento de una moneda   evento resultado  A: Sale cara {cara} B: Sale sello  {sello}  Experimento  E: Lanzamiento de un dado dos veces  evento  resultado A: Sale un par de números iguales  {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}  B: Su suma es 7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} C: El primero es el doble del segundo {(2,1), (4,2), (6,3 )}

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD 

La comprensión de los principios de probabilidad exige que estudiar la forma en que los sucesos están relacionados entre sí. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O DISJUNTOS Son sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir que si uno ocurre, el otro no puede ocurrir. Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda que salga cara o salga sello son dos suceso mutuamente excluyentes porque si sale cara no es posible que al mismo tiempo salga sello. SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Ejemplo 1: En el lanzamiento de una moneda dos veces, si en el primer lanzamiento sale cara, este resultado, no influye en nada para que el otro curra en el segundo lanzamiento. Ejemplo 2: Si se extraen cartas de una baraja, la probabilidad de ocurrencia de una de ellas no se ve afectada si al extraer la primera carta ésta se restituye a la baraja. SUCESOS COMPLEMENTARIOS Dos sucesos son complementarios si la no ocurrencia de uno de ellos obliga la ocurrencia del otro. Ejemplo 1: Si suceso A es sacar un número par y el suceso A' es sacar un número impar; si no sale un número par es forzoso que salga impar. De aquí se obtiene la siguiente regla: En el lan que salga cara o salga sello son dos suceso mutuamente excluyentes porque si sal UNIONES, INTERSECCIONES Y DIAGRAMAS DE VENN UNIÓN La unión de A y B, se representa por A U B y consta de los elementos que están en A o en B o en ambos conjuntos. INTERSECCIÓN La intersección de A y B, se representa por A n B y consta de los elementos que están simultáneamente en A y en B.

CALCULO DE PROBABILIDADES

REGLA DE LA SUMA La regla de la suma la aplicamos cuando buscamos la probabilidad de A o B , P(A o B), P(A U B). Si A y B son sucesos mutuamente no excluyentes (es decir, si se pueden dar los dos al mismo tiempo), la regla se aplica así: Esta regla afirma que debemos sumar la probabilidad de los eventos y restar la probabilidad de la intersección de los eventos. Ejemplo: E: Lanzamiento de un dado A: Sale par: {2, 4, 6} B: Sale múltiplo de 3: {3,6} A o B : Sale par o sale múltiplo de 3: {2, 3, 4, 6} Notemos que al lanzar un dado es posible que simultáneamente salga par y a la vez múltiplo de 3 Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes (es decir,  que no pueden suceder los dos al mismo tiempo), la regla se aplica así: Aquí se nota que se suman la probabilidades de los eventos pero no hay necesidad de restar la intersección porque no la hay entre ellos. Ejemplo: E: Lanzamiento de un dado A: Sale impar: {1, 3, 5} B: Sale par: {2, 4, 6} Notemos que al lanzar un dado si este sale par, no puede salir impar al mismo tiempo; por lo tanto son sucesos mutuamente excluyentes.   REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN La regla de la multiplicación la aplicamos cuando buscamos la probabilidad de A y B, P(A y B), P(A n B). 1. Si A y B son sucesos independientes, multiplicamos la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B. 2. Si A y B son sucesos dependientes, multiplicamos la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B siempre que ya haya ocurrido A; conocido como probabilidad condicional. P(B/A) se lee probabilidad de B dado A. Representa la probabilidad de un determinado suceso dado que ya haya ocurrido el otro suceso relacionado con él. Ejemplo 1: Sucesos independientes E: Lanzamiento de un dado A: Sale par: {2, 4, 6} P(A): 3/6 B: Sale múltiplo de 3: {3, 6} P(B): 2/6 A y B: Sale par y sale múltiplo de tres: {6} P(A y B): 3/6 x 2/6 = 6/36 = 1/6 Notemos que al lanzar un dado hay una sola posibilidad que simultáneamente salga par y a la vez sea múltiplo de 3, por lo tanto: Ejemplo 2: Sucesos independientes A: Extraer un rey de una baraja de 52 cartas B: Sacar un 5 con un dado Estos sucesos son independientes porque la carta extraída no influye para nada en sacar un 5 con el dado. P(A y B) = P(A) x P(B) = 4/52 x 1/6 = 4/312 Ejemplo 3: Sucesos dependientes El siguiente ensayo se hace sin restituir la primera cara en el mazo de naipes. A: Extraer un As de una baraja de 52 cartas B: Extraer una J de una baraja de 52 cartas Al no restituir la primera carta, la probabilidad de la segunda extracción depende de lo que saque la primera vez. P(A y B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 4/51 = 16/2652 Explicación: En la segunda probabilidad se hace sobre 51 porque la primera carta no se restituye en la baraja. RESUMEN REGLA DE LA SUMA Y REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO El complemento de un evento A, denotado como A',  son todos los elementos que no cumplen con la condición dada en A. Ejemplo: E: Lanzamiento de un dado A: Sale múltiplo de 3 : {3,6}   P(A)=2/6=1/3 A': No es múltiplo de 3

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Se estudiaran las distintas formas de utilizar las distribuciones de probabilidad y se analizaran por igual variables discretas y continuas. Se pretende que quede claro que las distribuciones de probabilidad tiene muchas aplicaciones en la resolución de problemas en las empresas. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es una representación de todos los posibles resultados de un experimento, junto con la probabilidad de cada resultado. Ejemplo: E.A.: Lanzamiento al aire de una moneda tres veces. S = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (s,c,c), (c,s,s), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)} Tabla de distribución de probabilidad Sacar cara Resultado (cara) Probabilidad 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Gráfico de distribución de probabilidad Sacar cara La probabilidad de que ka variable aleatoria X tome un valor especifico, x se escribe: Ej. La probabilidad de que en tres lanzamientos de una moneda se obtengan dos caras es: P(X = 2) = 3/8

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