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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A PARTIR DE DATOS NO AGRUPADOS

MEDIA ARITMÉTICA

También llamada media o promedio. Es el valor obtenido de sumar todos los datos y dividirlos entre el número total de datos.

Dados los valores {X1, X2, X3, . . . ,Xn}, la media aritmética se define como :

${\color{Red} \overline{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + X_{3}+... + X_{n}}{N}=\frac{\sum X_{i}}{N}}$

Ejemplo:
Si el sueldo de 5 empleados son: $800.000, $700.000, $850.000, $1'200.000 y $900.000; hallar el promedio de sueldos.
Solución:

$\tiny {\color{Red} \overline{X} = \frac{800.000 + 700.000 + 850.000 + 1'200.000 + 900.000}{5}=\frac{4'450.000}{5}= 890.000}$

Una de las desventajas de la media aritmética es que es muy sensible a los datos extremos; si hay alguno o algunos valores demasiado grandes o demasiado pequeños con relación a los demás, la media aritmética no es conveniente usarla como medida de tendencia central.

MEDIANA

Es aquel valor que se sitúa en el centro exacto de un conjunto de datos una vez que los valores se han colocado en forma ordenada. Quedando el 50% de los valores por encima y el otro 50% de los valores por debajo de la mediana.

Si el número de datos es impar la mediana es el valor que está situado en el medio y si el número de datos es par la mediana es el promedio de los dos datos centrales.
Para el cálculo de la mediana procedemos así:
1. Ordenamos los datos en forma ascendente o descendente.
2. Calculamos la posición de la mediana,

$\large {\color{Red} \frac{N + 1}{2}}$

3. Ubicamos la posición, si es impar coincide con el valor central y si es par queda en el medio de dos valores centrales a los cuales les sacamos el promedio.
Ejemplo:
Si el número de datos es impar

Hallar la mediana de los siguientes 5 datos: 63, 41, 57, 32, 71
Solución:
1. Ordenamos los datos de menor a mayor: 32, 41, 57, 63, 71
2. La posición de la mediana es:

${\color{Red} \frac{N + 1}{2}= \frac{5 + 1}{2}= \frac{6}{2}=3}$

3. Observamos que en la tercera posición coincide con el 57, por lo tanto la mediana es 57

Ejemplo:

Si el número de datos es par

Hallar la mediana de los siguientes 6 datos: 54, 40, 56, 34, 70, 36
Solución:
1. Ordenamos los datos de menor a mayor: 34, 36, 40, 54, 56, 70
2. La posición de la mediana es:

${\color{Red} \frac{N + 1}{2}= \frac{6 + 1}{2}= \frac{7}{2}=3.5}$

3. Observamos que en la posición 3.5 no hay ningún valor, por lo tanto la mediana es el promedio de los dos valores centrales 40 y 54:

${\color{Red} \frac{40 + 54}{2}= \frac{94}{2}=47}$

MODA

La moda de un conjunto de datos es aquel valor que ocurre con mayor frecuencia.

Ejemplo:
El conjunto de datos: 23, 32, 25, 24, 25, 23, 25 Es Unimodal, tiene una moda, porque el 25 es el valor que más se repite.
El conjunto de datos: 23, 32, 25, 24, 25, 23, 25, 23 Es Bimodal, tiene dos modas, porque el 23 y el 25 son los dos valores que mas se repiten.
El conjunto de datos: 18, 23, 17 ,20, 19, 21, 22 Es Amodal, no tiene moda, porque no hay un valor que se repita más que el otro

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Es un tipo de media aritmética en el que no todos los valores tienen la misma importancia. Para su cálculo debemos tener en cuenta el "peso" de cada dato.

${\color{Red} \mathbf{\overline{X}= \frac{\sum XW}{\sum W}}}$

Donde X es el valor de cada observación y W es el peso asignado a cada observación.
Ejemplo:

En cierta institución se decide que la nota final tiene un valor del doble que las demás notas; si las notas son: 3.2, 3.5, 3.4 y 4.4; Calcular la media ponderada.

${\color{Red} \mathbf{\overline{X}= \frac{(3.2)x1+(3.5)x1+(3.4)x1+(4.4)x2}{5}}}$

${\color{Red} \mathbf{\overline{X}= 3.78}}$

Ejemplo:

Si se decide darle a cada nota un peso del 10%, 20%, 30 y 40%que las notas anteriores nota final tiene un valor del doble que las demás notas; si las notas son: 3.2, 3.5, 3.4 y 4.4; Calcular la media ponderada.

${\color{Red} \mathbf{\overline{X}=\frac{(3.2)x10+(3.5)x20+(3.4)x30+(4.4)x40}{100}}}$

${\color{Red} \mathbf{\overline{X}=3.8}}$

MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica de un conjunto de n números positivos se calcula como la raíz n-ésima del producto de los n números.

${\color{Red} \mathbf{GM=\sqrt[n]{X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n}}}}$

Existen dos usos principales de la media geométrica:
1. Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas.
2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.

Ejemplo:
Suponga que la utilidades obtenidas por una compañía constructora en 4 proyectos fueron de 3%, 2%, 4% y 6 % respectivamente. ¿Cuál es la media geométrica de las ganancias?

${\color{Red} \mathbf{GM=\sqrt[4]{3.2.4.6}=3.46}}$ %

Si comparamos con su media aritmética que es 3.75% observamos que se inclina hacia el valor más elevado del 6%, mientras que la media geométrica 3.46 no se ve tan afectada por los valores extremos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS

Si los datos se han agrupado en intervalos de clases en una tabla de frecuencias, es imposible determinar las medidas de tendencia central por por los métodos explicados hasta ahora, puesto que no se conocen los valores individuales.

Es preciso tomar métodos alternativos en los que hay que tener en cuenta que los cálculos que se realicen a partir de datos agrupados serán sólo aproximaciones.

MEDIA ARITMÉTICA

Si los datos se han recogido en una tabla de frecuencias no podemos hallar la media aritmética exacta sino aproximada, inicialmente suponiendo la hipótesis de que los valores de cada clase son iguales a la marca de clase o punto medio, lo que probablemente no es cierto. Para su cálculo usamos la siguiente fórmula:

$\small {\color{Red} \bar{x}=\frac{\sum f_{i}\bar{x}_{i}}{N}}$

donde:

f_i es la frecuencia o número de observaciones de cada clase

$\tiny {\color{Red} \bar{x}}$ es la marca de clase

N es el número total de datos
Ejemplo:
Usar la tabla de distribución de frecuencias de alturas para hallar la media aritmética de 100 estudiantes.

Altura (Cm)	Marca de Clase $\tiny {\color{Red} \bar{x}}$	frecuencia f_i	f_i X_i
152 – 160 160 – 168 168 – 176 176 – 184 184 - 192	156 164 172 180 188	5 18 42 27 8	780 2952 7224 4860 1504
		N = 100	∑ 17320

La estatura promedio de los 100 estudiantes es de 173.2 cm.

$\small {\color{Red} \bar{x}=\frac{\sum f_{i}\bar{x}_{i}}{N}=\frac{17320}{100}=173.2 cm}$

Interpretación de algunos valores:

172: Se asume que los estudiantes del intervalo 168 - 176 miden todos 172 cm. lo que muy probablemente no es cierto.

42: indica que hay 42 estudiantes con una estatura mayor o igual a 168 y menor a 176

7224: es la estatura total de los 42 estudiantes del intervalo 168 - 176
173.2: La estatura promedio de los cien estudiantes es de 173.2 centímetros

MEDIANA

La mediana es aquel valor en que la mitad de los datos está por encima y la otra mitad esta por debajo.
Si los datos se han recogido en una tabla de distribución de frecuencias, no se pueden ordenar para calcular exactamente la mediana, por lo tanto debemos recurrir a un método aproximado; y lo hacemos mediante la fórmula:

${\color{Red} Me=L_{i}+\left ( \frac{\frac{N}{2}-F_{i-1}}{f_{i}} \right )*C}$

Li = Límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana

N = Número total de datos observados

F_i-1= Frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra la mediana

fi = frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana

C = Ancho de clase del intervalo donde se encuentra la mediana

Ejemplo:

Usar la tabla de distribución de frecuencias de alturas para hallar la mediana de 100 estudiantes.

Altura (Cm)	Marca de Clase $\tiny {\color{Red} \bar{x}}$	frecuencia f_i	Frecuencia acumulada F_i
152 – 160 160 – 168 168 – 176 176 – 184 184 - 192	156 164 172 180 188	5 18 42 27 8	5 23 65 92 100
		N = 100

Iniciamos calculando el intervalo en el que está la mediana, o sea, la mitad de los datos con N/2, así:

N/2 = 100/2 = 50, en la frecuencia acumulada observamos que el dato # 50 está en el tercer intervalo 168 - 176.
Por lo tanto el intervalo donde se encuentra la mediana es 168 - 176.
En este intervalo podemos determinar los valores que se deben usar en la fórmula dada:

Li = 168

Fi-1 = 23

fi = 42

C = 176 - 168 = 8

Reemplazando estos datos en la fórmula tenemos:

${\color{Red} Me=L_{i}+\left ( \frac{\frac{N}{2}-F_{i-1}}{f_{i}} \right )*C}$

${\color{Red} Me=168+\left ( \frac{\frac{100}{2}-23}{42} \right )*8}$
${\color{Red} Me=168+\left ( \frac{50-23}{42} \right )*8}$
${\color{Red} Me=168+\left ( \frac{27}{42} \right )*8}$
${\color{Red} Me=168+\left ( \frac{216}{42} \right )}$
${\color{Red} Me=168+5.14}$

${\color{Red} Me=173.14}$

Significa que hipotéticamente, si ordenáramos los cien estudiantes por estatura, aquel que está situado en el centro de todos tendría una estatura de 173.14 cm.

MODA

${\color{Red}Mo = L_{i}+\left [ \frac{\Delta _{1}}{\Delta _{1}+\Delta _{2}} \right ]*C }$

${\color{Red} \Delta _{1}=f_{i}-f_{i-1}}$
${\color{Red} \Delta _{2}=f_{i}-f_{i+1}}$

fi = frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 = frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal
fi+1 = frecuencia absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal

C = Ancho de clase del intervalo modal

Ejemplo:

Usar la tabla de distribución de frecuencias de alturas para hallar la moda de 100 estudiantes.

Altura (Cm)	Marca de Clase $\tiny {\color{Red} \bar{x}}$	frecuencia f_i	Frecuencia acumulada F_i
152 – 160 160 – 168 168 – 176 176 – 184 184 - 192	156 164 172 180 188	5 18 42 27 8	5 23 65 92 100
		N = 100

Iniciamos calculando el intervalo modal en el que está la mayor frecuencia absoluta, que para este caso está en la frecuencia de 42 y corresponde a 168 - 176, de donde se deduce:

fi = 42
fi-1 = 18
fi+1 = 27
C = 8

Por lo tanto:

N/2 = 100/2 = 50, en la frecuencia acumulada observamos que el dato # 50 está en el tercer intervalo 168 - 176; por lo tanto el intervalo modal es 168 - 176

Li = 168

Fi-1 = 23

fi = 42

C = 176 - 168 = 8

Reemplazando estos datos en la fórmula tenemos:

Significa que hipotéticamente, si ordenáramos los cien estudiantes por estatura, aquel que está situado en el centro de todos tendría una estatura de 173.14 cm.

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