TIPOS DE VARIABLE
Una variable aleatoria es toda función que asocia al conjunto de resultados del espacio muestral un número real, y dependiendo de estos números se puede clasificar en variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua.
En otras palabras es el resultado de asignar un valor numérico a los resultados posibles de un experimento, los cuales pueden ser discretos o continuos.
En otras palabras es el resultado de asignar un valor numérico a los resultados posibles de un experimento, los cuales pueden ser discretos o continuos.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Ejemplo.
Experimento Aleatorio: Lanzar tres monedas
Espacio muestral E: {ccc, ccs, csc, c,ss, scc, scs, ssc, sss}
Variable aleatoria X: Número de caras que resulten
X: {0,1,2,3}
Como podemos ver el ejemplo el número de resultados es entero: caen cero caras, o una, o dos o tres.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta real.
Ejemplo
La estatura de los alumnos de una clase.
En el anterior ejemplo podemos ver que el conjunto de resultados es infinito dentro de un intervalo de estaturas.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada valor del espacio muestral su respectiva probabilidad de ocurrencia.
Ejemplo
En el lanzamiento de tres monedas podemos interesarnos como variable aleatoria en el número de caras que resultan en cada lanzamiento y por ende podemos construir su distribución de probabilidad.
Experimento Aleatorio: Lanzar tres monedas
Espacio muestral E: {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}
Variable aleatoria X: Número de caras que resulten
X: {0,1,2,3}
Distribución de probabilidad. 1/8, 3/8, 3/8, 1/8
Tabla de distribución
de probabilidad
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Diagrama de barras
de probabilidades
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Cuando se trata de una variable continua, es imposible calcular la probabilidad punto a punto, ya que los valores posibles de la variable continua es infinito, por lo tanto se debe calcular la probabilidad de que un valor de la variable este contenido dentro de un intervalo en particular.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA
Se presentan muchos problemas en donde se desea conocer la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria X sea menor o igual a algún número real X.
Ejemplo
La tabla de distribución acumulada y su representación gráfica que resulta del experimento de lanzar tres monedas será:
Tabla de distribución
de frecuencias acumuladas
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Diagrama de función
de densidad
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b) P(X >
MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA µ =E(X)
En estadística descriptiva las distribuciones de los valores de la variable se resumen utilizando la media aritmética, que se acompaña siempre de la desviación estándar. Lo mismo se hace con las distribuciones de probabilidad, en donde la medida de resumen se denomina Esperanza de la distribución o Esperanza matemática y se acompaña de la desviación estándar de la distribución.
ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Se puede considerar como el valor promedio ponderado de todos los valores posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales resultados. Para obtener esta medida de resumen se multiplica los valores que toma la variable por su respectiva probabilidad de ocurrencia:
Ejemplo
Para la distribución de probabilidad teórica de los resultados posibles del experimento de lanzar tres monedas, tenemos:
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EVENTO X
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P(X)
|
Xi
P(Xi)
|
|
0
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1/8
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0
|
|
1
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3/8
|
0.375
|
|
2
|
3/8
|
0.75
|
|
3
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1/8
|
0.375
|
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TOTAL
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8/8
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1.5
|
En dónde:
µ = E(X) = 1.5
Este resultado tiene poco sentido, ya que si lanzamos tres monedas no podemos obtener como resultado 1.5 caras; se debe interpretar que en promedio "esperamos que salgan 1.5 caras".
VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media y utilizada para describir el grado de dispersión o variación de una distribución de probabilidad; se expresa mediante la siguiente fórmula:
En resumen tenemos:
Xi
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P(Xi)
|
Xi P(Xi)
|
(Xi - µ)2 . P(Xi)
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0
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1/8
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0
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(0 – 1.5)2 . 1/8 = 0.281
|
1
|
3/8
|
0.375
|
(1 – 1.5)2 . 3/8 = 0.094
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2
|
3/8
|
0.75
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(2 – 1.5)2 . 3/8 = 0.094
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3
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1/8
|
0.375
|
(3 – 1.5)2 . 1/8 = 0.281
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TOTAL
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8/8
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µ = 1.5
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σ 2 = 0.750
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Como hemos podido ver LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD es un listado de los valores que toma la variable X a los cuales se les ha asociado su correspondiente probabilidad de ocurrencia.
Los valores que toma la variable X en los diversos experimentos, en muchas ocasiones tienen en términos generales un mismo comportamiento, en consecuencia, las variables aleatorias discretas que tienen mas o menos un comportamiento similar pueden describirse, por la misma distribución de probabilidad y por lo tanto se representan por un mismo modelo.
Se han desarrollado diferentes tipos de modelos matemáticos para representar diversos fenómenos discretos que ocurren en las ciencias sociales, de la salud, económicas, administrativas y en los negocios; como son la BINOMIAL, DE POISSON Y LA HIPERGEOMÉTRICA.
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