TEORÍA DE PROBABILIDADES ~ rodrivelp.blogspot.com

En el presente capitulo vamos a tratar sobre:

ASPECTOS GENERALES
EXPERIMENTO ALEATORIO
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
REGLAS DE CONTEO
PERMUTACIONES
COMBINACIONES

ASPECTOS GENERALES:

En este capítulo se estudian métodos que permiten calcular la probabilidad o verosimilitud de determinados sucesos. Si podemos determinar la probabilidad de que ocurran sucesos futuros, reduciremos en gran medida el riesgo implícito en la toma de decisiones y potenciaremos nuestras oportunidades de que sean más inteligentes.

EXPERIMENTO ALEATORIO:

Se define como un proceso o actividad que al ejecutarse puede suceder uno o varios resultados posibles.

Y desde el punto de vista de la probabilidad es un conjunto de resultados que se pueden dar en un experimento de los cuales no tenemos certeza de cual será su resultado, es decir que existe una incertidumbre.
Como ejemplo básico en el transcurso de las siguientes definiciones tomaremos como experimento: "El lanzamiento de un dado"
En él existe una incertidumbre respecto al número que va a caer por lo tanto su resultado depende del azar y en cada lanzamiento su resultado puede variar caprichosamente en forma aleatoria, es decir que ud. no puede escoger cuál será su resultado.

PROBABILIDAD:

Es un método matemático que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la incertidumbre, es decir la mayor o menor posibilidad de la ocurrencia de un valor o de un conjunto de valores de la variable aleatoria.

ESPACIO MUESTRAL:
En el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
En el lanzamiento de un dado los posibles resultados o espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6}

EVENTO O SUCESO:

Es cualquier resultado o subconjunto de los posibles resultados del experimento. Tomemos los siguiente eventos:

A: Que el resultado sea par, entonces A = {2,4,6}
B: Que el resultado sea menor a 3, entonces B = {1,2}

SUCESO ELEMENTAL O SUCESO SIMPLE:
Es aquel formado por un solo elemento del espacio muestral.

SUCESO COMPUESTO:
Es aquel formado por dos o más sucesos elementales.

SUCESO SEGURO:
Es aquel que siempre ocurre, y coincide exactamente con el espacio muestral.

SUCESO IMPOSIBLE:
Es aquel que nunca puede ocurrir

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
Son aquellos en los cuales si sucede uno, no puede suceder el otro. Por ejemplo si:
A: Que el resultado sea par, entonces A = {2,4,6}
B: Que el resultado en el primer lanzamiento sea menor a 3, entonces B = {1,2}
C: Que el resultado sea impar, entonces B = {1,3,5}

Los eventos A y C son mutuamente excluyentes porque en el lanzamiento puede salir par o impar, pero no los dos casos a la vez. Podemos ver que los posibles resultados de cada evento no comparten valores, es decir que su intersección es vacía.

Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes porque en este caso se pueden dar las dos cosas, que a la vez sea par y a la vez sea menor que 3. Podemos ver que los posibles resultados de cada evento comparten valores, 2, es decir que su intersección no es vacía.

AXIOMAS O REGLAS
1. La probabilidad de un suceso A, P(A), es un número mayor o igual a cero.

P(A) ≥ 0

2. La probabilidad de que se obtenga cualquier resultado es uno, se está completamente seguro que cualquiera de los resultados se puede dar.

P(S) = 1

3. Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de A más la probabilidad de B es igual a uno.

P(A) + P(B) = 1

PROPIEDADES
1. La probabilidad de vacío es cero, en donde en probabilidad el conjunto vacío representa un evento imposible.

P(ф) = 0

Ej. En el lanzamiento de un dado la probabilidad de que salga siete (7) es "CERO"

2. Para cualquier suceso su probabilidad está entre cero y uno.

0 ≤ P(A) ≤ 1

Ej. En el lanzamiento de un dado la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es "UNO"

COMPLEMENTO O NEGACIÓN DE UN EVENTO:

El complemento de un evento o la negación es el caso contrario del evento al cual nos referimos:

Por ejemplo:

Si A: El resultado sea par, entonces su complemento o negación será:

A': El resultado es impar

3. La probabilidad del complemento de un evento es uno menos la probabilidad del evento.

P(A') = 1 - P(A)

REGLA DE LAPLACE O PROBABILIDAD APRIORI:
Es el principal método usado para el cálculo de probabilidades, y define la probabilidad de un suceso como el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

P(A) = Casos favorables Casos posibles

Para poder aplicar la regla de Laplace se tienen que cumplir dos requisitos:

a. El número de resultados posibles tiene que ser finito.
Si hubiera infinitos resultados al aplicar la regla el cociente nos daría cero.

b. Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad.
Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla

PROBABILIDAD A POSTERIORI

En este modelo ya no sera necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Cuando se "realiza" un experimento aleatorio un número elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda es posible que en los primeros resultados se de una tendencia hacia un resultado, pero a medida que se siga lanzando vamos a ver que esta tendencia va desapareciendo y los resultados se acercan al 50% caras y 50% sellos.

VÍDEOS EXPLICATIVOS

PROBABILIDAD DE SUCESOS

En probabilidad dos o más sucesos pueden tener diferentes relaciones lo cual se ve reflejado en su valor numérico. Veamos los siguientes casos:

a. Un suceso puede estar contenido en otro:
Entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ej. Si analizamos los siguientes eventos en el lanzamiento de un dado:
A: Que salga el número 6
B: Que salga un número par
P(A) = 1/6 = 0.17
P(B) = 3/6 = 0.5

Observamos que el evento A está contenido en el evento B y que la probabilidad de A es menor que la probabilidad de B.

b. Dos sucesos pueden ser iguales:
En este caso, las probabilidades son iguales.
Ej. Si analizamos los siguientes eventos en el lanzamiento de una dado:
A: Que salga un número par: {2,4,6}
B: Que salga un número múltiplo de 2: {2,4,6}
P(A) = 3/6 = 0.5
P(B) = 3/6 = 0.5

Observamos que los casos favorables son los mismos, por lo tanto sus probabilidades son iguales.

c. Intersección de sucesos:

La intersección de dos sucesos A y B en un espacio muestral E, es un nuevo suceso compuesto por aquellos que están en A y B simultáneamente.

La probabilidad de la intersección de dos sucesos será igual a la probabilidad de ocurrencia de los elementos comunes.

Ej. Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga un número par que sea mayor que 3

Analizamos los siguientes eventos:
A: Que salga un número par. {2,4,6}
B: Que Salga un número mayor que tres. {4,5,6}
A y B : Que salga un número par y que sea mayor que tres. {4,6}

Observamos que la intersección de estos eventos tiene dos elementos comunes: el 4 y el 6, por lo tanto

P(A y B) = 2/6 = 0.33

d. Unión de sucesos:
La unión de dos suceso A y B en un espacio muestral E, denotado por A U B, es un nuevo suceso donde están todos los elementos de A, todos los elementos de B y los que se encuentran en ambos simultáneamente.

La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.

P(A o B) = P(A) + P(A) - P(A y B)

Ej. Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga un número par o un número mayor de 3.

Analizamos los siguientes eventos:
A: Que salga un número par. {2,4,6}
B: Que salga un número mayor que tres. {4,5,6}
A y B: Que salga un número par y que sea mayor que tres. {4,6}
P(A): 3/6 = 0.5
P(B): 3/6 = 0.5
P(A y B) = 2/6 = 0.33

Entonces, P(A o B) = (0.5 + 0.5) - 0.333 = 0.666

e. Sucesos incompatibles:
La probabilidad será la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que sus intersección es vacía y no hay nada que restarle).

P(A o B) = P(A) + P(A)

Ej. Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga 6 o salga un número menor que tres.

Analizamos los siguientes eventos:
A: Que salga un número menor que tres. {1,2}
B: Que salga el número 6. {6}
P(A) = 2/6 = 0.333
P(B) = 1/3 = 0.166
Por lo tanto, P(A o B) = 0.333 + 0.166 = 0.5

f. Sucesos complementarios o contrarios:
El suceso contrario a A en un espacio muestral E, denotado por A', es un nuevo suceso formado por aquellos resultados que se encuentran en el espacio muestral E y no se encuentran en el conjunto A.

La probabilidad de un suceso contrario a un suceso A, es igual a 1 menos la probabilidad de A.

P(A') = 1 - P(A)

Ej. Hallar la probabilidad de que en lanzamiento de un dado no salga par.

Analizamos los siguientes eventos:
A: Que salga un número par. {2,4,6}
B = A': Que salga un número impar. {1,3,5}
P(A) = 3/6 = 0.5
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5

o también podemos calcularla directamente teniendo en cuenta los impares.
P(A') = 3/6 = 0.5

VÍDEO EXPLICATIVO

g. Unión de sucesos complementarios:
La probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Ej. Hallar la probabilidad de que en lanzamiento de un dado salga par o salga impar.
Según el ejemplo anterior, como A y B son complementarios, tenemos:
P(A o B) = 0.5 + 0.5 = 1

h. Diferencia de sucesos:
La diferencia de dos sucesos A y B, en un espacio muestral E, denotado por A - B, es un nuevo suceso formado por aquellos elementos del espacio muestral E que están en A y no están en B.

La probabilidad de A menos B, es la probabilidad de A menos la probabilidad de (A y B).

P(A - B) = P(A) - P(A y B)

Ej. Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga un número par menor que tres.
A: Que salga un número par. {2,4,6}
B: Que salga un número mayor o igual que tres.{3,4,5,6}
A - B : Que salga par menor que tres. {2}
P(A - B) = 1/6 = 0,1666

TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo aquellas usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar o que son muy extensos.
Se les denomina técnicas de conteo a algunos procedimientos matemáticos como los diagramas de árbol, las permutaciones, las combinaciones los cuales nos proporcionan formas de calcular todas las posibles maneras en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO O PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN:
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N₁ x N₂ x ..........x N_r maneras o formas

Esta técnica nos permite determinar la cantidad mas no cuáles son las posibles formas

Ejemplo:

Si un estudiante tiene dos pantalones y tres camisas, de cuantas maneras diferentes se puede vestir.

Solución:

Aplicando el principio tenemos que se puede vestir de 2 x 3 = 6 posibles formas.

DIAGRAMA DE ÁRBOL:
Esta técnica a diferencia del anterior método o principio de multiplicación nos permite determinar además de la cantidad también las posibles formas. de un experimento aleatorio y así definir bien el espacio muestral E.
Esta técnica que permite la organización de los datos, es simple y efectiva, sin embargo funciona únicamente con una información simplificada, ya que si intentamos hacer un diagrama de árbol con una población entera nos llevaría mucho tiempo y espacio para mostrarlo.

Ejemplo:

Si un estudiante tiene dos pantalones (azul y negro) y tres camisas (blanca, beige y amarilla). ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir?

Solución:
Mostremos los posibles resultados en un diagrama de árbol

Vemos que esta técnica nos permite determinar la cantidad y también las posibles formas:

azul-blanca, azul-beige, azul-amarilla, negro-blanca, negro-beige, negro-amarilla. (6)

VÍDEO EXPLICATIVO PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

ANÁLISIS COMBINATORIO

PERMUTACIONES
Son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con n elementos escogiendo r de ellos en donde el orden es importante.
Su fórmula de cálculo es:

nPr =	n!
	(n-r)!

En donde:
n : Es el número total de elementos
r : Es el número de elementos que se van a seleccionar.

Ejemplo:

En una competencia de cuatro personas (Ana, Berto, Carlos y Diego) de cuantas posibles formas se puede dar la premiación a los dos primeros?

Solución:

En este caso el orden si importa, porque no es los mismo, por ejemplo, que lleguen de primero Ana y Berto que Berto y Ana:

{(A,B), (A,C), (A,D), (B,A), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C)}

Si usamos la fórmula, tenemos:

n = 4

r = 2

₄P₂ =	4!
₄P₂ =	(4-2)!
₄p₂ =	4x3x2x1
₄p₂ =	2!
₄p₂ =	4x3x2x1
₄p₂ =	2x1
₄p₂ =	12

Respuesta: En total la premiación se puede dar de doce posibles forma diferentes.

COMBINACIONES.
Son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con n elementos escogiendo r de ellos donde el orden no es importante.

nCr =	n!
	(n-r)! r!

n : Es el número total de elementos
r : Es el número de elementos que se van a seleccionar.

Ejemplo:
Se postulan a un cargo cuatro personas (Ana,Berto,Carlos, y Diego) de las cuales se deben escoger dos de ellas. ¿De cuántas formas es posible escogerlos?
Solución:
Debemos determinar todas las posibles combinaciones entre ellos, teniendo en cuenta que el orden en que se escojan no importa, por ejemplo, contratar a Ana y Berto es lo mismo que contratar a Berto y Ana:
{(A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D)}
Si usamos la fórmula, tenemos:
n = 4
r = 2