ECUACIONES

1.1 ECUACIONES, IDENTIDADES Y ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

ECUACIÓN.
Es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dos expresiones algebraicas y en ella se relacionan partes literales (letras o variables ) y partes numéricas.
Las variables sólo se verifica o es verdadera para uno o varios valores; estas variables se representan generalmente por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, w.

Ejemplo.

* 3x+2=14
Es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad sólo es verdadera para el valor de x = 4, veamos:

3(4) + 2 = 14

14 = 14

Si damos a x un valor distinto de 4, la igualdad no es verdadera.

*  y ²  - 5y = -6

Es una ecuación porque es una igualdad que sólo se verifica para y = 2 e y = 3, veamos:

Reemplazando y = 2 22 – 5(2) = -6 4 – 10 = -6 -6 = -6 La igualdad se verifica

Reemplazando y = 3 32 – 5(3) = -6 9 – 15 = -6 -6 = -6 La igualdad se verifica

Y si damos un valor distinto de 2 ó 3 la igualdad no se verifica.

IDENTIDAD.

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que intervienen.

Ejemplo.

* (x + y)² = x² + 2xy + y²

* x² - y² = (x+y).(x-y)

Son identidades porque la igualdades se verifican para cualquier valor de x y de y

REGLAS FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES.

Reglas indispensables para solucionar ecuaciones.

1. Si a ambos lados de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

2. Si a ambos lados de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

3. Si a ambos lados de una ecuación multiplicamos por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

4. Si a ambos lados de una ecuación dividimos por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

5. Si a ambos lados de una ecuación los elevamos a una misma potencia o si se les extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Solucionar una ecuación de primer grado con una incógnita consiste en hallar el valor que haga verdadera la igualdad planteada. Las hay aditivas, multiplicativas y mixtas.

ECUACIONES ADITIVAS.

Son de la forma x + a = b  ó  x - a = b

Ejemplo.
* x + 8 = 14
* w - 7 = 10

Para solucionar una ecuación aditiva aplicamos la propiedad #1, para eso sumamos o restamos el mismo término con signo contrario a ambos lados de la igualdad.

x + 8 = 14 x + 8 - 8 = 14 - 8             x = 14 - 8      x = 6

w -7 = 10 w - 7 + 7 = 10 + 7             w = 10 + 7       w = 17

Comúnmente y en forma simplificada decimos que:
El término que está sumando pasa a restar y el término que está restando para a sumar.

ECUACIONES MULTIPLICATIVAS Y FRACCIONARIAS

Ejemplo.

* 4 x = 24

* x / 2 = 18

4 x  = 24 (4 x) / 4 = 24/4 x = 24 / 4 x = 6

x / 2 = 18 2 . (x / 2) = 2 . 18              x = 2 . 18        x = 36

Comúnmente y en forma simplificada decimos que:

El término que está multiplicando pasa a dividir y el término que está dividiendo pasa a multiplicar.

ECUACIONES MIXTAS

Son ecuaciones en las que hay una combinación de ecuaciones aditivas y multiplicativas, en donde hay que tener en cuenta el orden de las operaciones para hacer el despeje de la variable.

VÍDEOS EXPLICATIVOS PARA
DESPEJAR UNA VARIABLE EN UNA ECUACIÓN LINEAL

VÍDEO 1	VÍDEO 2
VÍDEO 3	VÍDEO 4
VÍDEO 5

TALLER # 1
1. Resolver las siguientes ecuaciones mostrando los pasos seguidos para hallar el valor de equis:

1.2 VÍDEOS EXPLICATIVOS SOBRE
PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

VÍDEO 1	VÍDEO 2
VÍDEO 3	VÍDEO 4
VÍDEO 5	VÍDEO 6
VÍDEO 7	VÍDEO 8
VÍDEO 9	VÍDEO 10

MATERIAL DE APOYO Y EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES ESAP 2014

Leer la teoría para el planteamiento y solución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita, proponer una solución a cada problema planteado antes de ver las respuestas, comparar la solución que ustedes proponen con la solución planteada, sacar sus propias conclusiones respecto a sus avances y dificultades en la solución de problemas, resolver dudas y dar solución a los problemas no resueltos.

  

1. TEORÍA Y EJERCICIOS	VÍDEO 1
VÍDEO 2	VÍDEO 3
TALLER DE PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.3 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

 Son de la forma 
ax + bx = c 

VÍDEO EXPLICATIVO ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Ejemplo.

* 3x - 2y = 8

* 5x + y = -2

* y = -3x + 2

Una solución de este tipo de ecuaciones es un conjunto de valores que toma x e y que satisfacen la expresión, es decir que se hace verdadera cuando reemplazamos los valores por x e y.

Ejemplo.

* La ecuación 3x + y = 6, tiene infinitos valores para x e y que satisfacen la ecuación: (0,6), (1,3), (2,0), (3,-6), (4,-6), (5,-9). . .

3x + y = 6

3(0) + 6 = 6

3(1) + 3 = 6

3(2) + 0 = 6

.

.

.

Para encontrar las soluciones reemplazamos a x por cualquier valor y resolvemos la ecuación para y, o viceversa. Generalmente se acostumbra hacer una tabla de valores.

2x + y = 10
2(0) + y = 10 . . . y = 10
2(1) + y = 10 . . . y = 8
2(2) + y = 10 . . . y = 6

x	...	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	...
y	...	26	24	22	20	18	16	14	12	10	8	6	4	2	0	-2	-4	-6	...

Como se puede observar todos los puntos caen en una línea recta, es por eso que basta con graficar sólo dos puntos para poder obtener la línea recta, podemos destacar solamente las coordenadas en el origen.  

1.4 ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

Son de la forma :

ax² + bx - c 

a, b, c ϵ R, a≠0

Para su solución estudiaremos dos métodos: Por factorización y por fórmula general, cuando a es igual a uno y cuando a es diferente de uno.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Trinomio de la forma 
x² + bx + c 
a = 1

Ejemplo: Las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas en la variable X. * x^2 + 7x + 10 = 0 * x^2 - 5x + 6 = 0 * x^2 - 3x + 2 = 0 * x^2 + x - 30 = 0 Ejemplo 1: Solucionar x2 + 5x + 6 = 0 Ø El trinomio se descompone en dos binomios cuyo término es la raíz cuadrada de x2 o sea x. (x      ).(x      ) Ø En el primer binomio después de x se pone el signo + , o sea el signo del coeficiente b. Ø En el segundo binomio después de x se pone el signo +, o sea el producto de los coeficientes b y c (x +   ).(x  +   ) Ø Buscamos dos números cuya suma sea +5 y cuyo producto sea +6. Estos son 2 y 3, luego: x2 + 5x + 6 = 0  (x + 2).(x + 3) = 0 Ø Obtenemos dos factores igualados a cero, lo que significa que para que el producto de dos valores sea cero implica que uno de los dos sea cero; es decir: x + 2 = 0     ó     x + 3 = 0 x = -2     ó     x = -3 Ejemplo 2: Solucionar x2 + 2x - 15 = 0  Descomponemos los dos binomios, en el primero ponemos + porque +2x tiene signo +, en el segundo binomio ponemos - porque + por -  da -. (x +    ).(x -    ) Como los signos son distintos, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea -15, Estos números son +5 y -3. (x + 5).(x - 3) = 0 x + 5 = 0     ó     x - 3 = 0 x = -5     ó     x = 3 VÍDEO EXPLICATIVO MÉTODO DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO DE LA FORMA x2  + bx + c

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Trinomio de la forma 
ax² + bx + c 

Son trinomios de esta forma:  * 2x2  + 3x - 2 = 0 * 3x2  - 5x - 2 = 0 * 6x2  + 7x + 2 = 0 * 6x2  - 5x - 6 = 0 Ejemplo 1: solucionar 6x2 - 7x - 3 = 0 Ø Multiplicamos por 6 toda la ecuación, el coeficiente de x2 y dejando indicado el producto de 6, se tiene: (6x)2 - 7(6x) - 18 = 0 Ø Cuando multiplicamos una ecuación por un número debemos dividir por el mismo número para no alterarla, sin embargo en este caso no hay necesidad puesto que la ecuación está igualada a cero, y si dividimos por 6, este valor pasa a multiplicar al cero y hace que se anule. Ø Descomponemos la ecuación en el producto de dos binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada de (6x)2 o sea 6x: (6x -   ).(6x +   ) = 0 Ø Buscamos dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18, estos son -9 y +2 (6x - 9).(6x + 2) = 0 Ø Dos productos son cero, si uno de ellos es cero, es decir: 6x - 9 = 0     ó      6x + 2 = 0 6x = 9      ó       6x = -2 x = 9/6      ó       x = -2/6 x = 3/2       ó       x = -1/3 Ejemplo 2:  Solucionar 3x2 + 7x + 2 = 0 VÍDEO EXPLICATIVO

MÉTODO DE FÓRMULA GENERAL

Una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 la podemos solucionar usando la siguiente fórmula:

El discriminante b2 - 4ac, nos da una buena información sobre las raíces, si: b2 - 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales. b2 - 4ac = 0, entonces la ecuación tiene una raíz real. b2 - 4ac < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones reales, sus soluciones son dos raíces complejas Ejemplo: Solucionar  2x2  - 4x - 3 = 0 Comparamos con la forma ax2  + bx + c = 0 y se nota que a = 2, b = - 4 y c = - 3 reemplazamos los valores en la fórmula general:   es el conjunto solución de la ecuación dada VÍDEO EXPLICATIVO MÉTODO DE FORMULA GENERAL TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

MÉTODO DE RAÍCES CUADRADAS
Si la forma es

ax² + c = 0 

Son de este tipo de ecuaciones:  * 2x2 - 3 = 0 * 3x2  + 27 = 0 * (x+ 1/2)2  = 5/4 Ejemplo 1: Solucionar 2x2  - 3 = 0 Ø Despejamos la variable equis y al final sacamos la raíz cuadrada 2x2  = 3  x2  = 3/2 x =

Ejercicios Ecuaciones Lineales	Ejercicios Ecuaciones cuadráticas

TALLER # 3

1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado de ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno para obtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año? Rta. 1’600.000 , $800.000

2. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al 8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000 proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6%

3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de US$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%. Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11%

4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta. US$ 4.000

5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%. Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje de 10% sobre el total, ¿Cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000

6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos (nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántas monedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes.

7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del terreno sea el doble del ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies

8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de $2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3, ¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de 50.000? Rta. 181.250

9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que el ingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otra tiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una? Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000

10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el producto? Rta. $ 4,25

11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el precio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas a fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades

12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p2, donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingreso será de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100.

13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidores demandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p. Rta. 77

14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después de vender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueron vendidos? Rta. 60

15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o 125 de A y 100 de B.

16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incremento en los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerlo conservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno. El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm. Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumen V de un disco sólido es de p r2 h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. ± 13

17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas herramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división de ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos: sillas y mesas. Una silla requiere 384/17 horas de maquinado y 480/17 horas de ensamble y terminado. Una mesa requiere 240/17 horas de maquinado y 640/17 horas de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica?

18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas de tréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene. Una porción de amor requiere 3 1/13 onzas de tréboles y 2 2/13 onzas de mandrágora. Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere 5 5/13 onzas de tréboles y 10 10/13onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de su alacena?

19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del requerimiento diario de proteína y 15% del de carbohidratos. Una unidad estándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de los requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día?

20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio para: a) Oferta: p = 1/100 q + 2    ; Demanda: p= -7/100 q + 12

b) Oferta: 3q - 2 p + 250 = 0 ; Demanda: 65q + p - 573,5 = 0

c) Oferta: p = (q +10)² ; Demanda: p = 388 - 16q - q²

d) Oferta: p = (q +10)^1/2 ; Demanda: p = 20 - q

21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un fabricante son Y = 100 – 1000/((q+10); y = q + 40 , respectivamente. En ellas q representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama.

 TALLER # 3

Hallar el eje de simetría, el vértice y la gráfica de las funciones cuadráticas:

a. y = 2x² - x - 1

b. y = x² - x

c. y = -2x² - x - 1

d. y = x - x²

e. y = x² + x

f.  y = x² + x + 1

g. y = -x² - x + 2

h. y = -x² + 2x + 1

i. y = x² - 2x + 1

j. y = x² - 1

 TALLER # 4

Hallar la solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por dos de los métodos vistos.

a.	y = 3x - 3	6x = 8 + 3y
b.	3m = 2n	n = -7 - 2m
c.	(1/2) x - y = -3	-x + 2y = 6
d.	y = 2x - 1	6x - 3y = -1
e.	2x + 3y = 2y - 2	3x + 2y = 2x + 2
f.	2u - 3v = 1 - 3u	4v = 7u - 2
g.	0.2x - 0.5y = 0.07	0.8x - 0.3y = 0.79
h.	0.5m + 0.2n = 0.54	0.3m - 0.6n = 0.18
i.	(x/4) - (2y/3) = -2	(x/2) - y = -2
j.	(2/3)a + (1/2)b = 2	(1/2)a + (1/3)b = 1

LO SIENTO ESTA EN CONSTRUCCIÓN

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