FUNCIONES Y GRÁFICAS

FUNCIONES

Una función es un relación tal que a cada elemento del dominio o conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento en el rango o conjunto de llegada. Ejemplo: La función y = 3x + 5 se puede escribir como f(x) = 3x + 5, notación que es muy útil cuando deseamos tabular algunos valores. Por ejemplo si se desea saber el valor de y o sea f(x) cuando x = -3 tenemos: f (- 4) = 3 (-4) + 5 f (- 4) = -12 + 5 f (- 4) = - 7 Obtenemos una pareja ordenada (- 4 , - 7) que representa un punto de la gráfica en el plano cartesiano. Ejemplo: La función y = 3x2 - 4x + 7 se puede escribir como f(x) = 3x2 - 4x + 7, calcular f (-2): f (- 2) = 3 (-2)2 - 4 (-2) + 7 f (-2) = 3 (4) + 8 + 7 f (-2) = 12 + 8 +7 f (-2) = 27 Obtenemos una pareja ordenada (-2 , 27) que representa un punto de la gráfica en el plano cartesiano.

FUNCIÓN LINEAL

Recordemos que una función es un correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio o Rango, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Rango.

Toda función lineal se puede llevar a la forma: Y = mx+b conocida como ecuación de la recta en el plano xy y su gráfica es una línea recta.
donde:
m = Es la pendiente o razón de cambio de y con respecto a x, o simplemente m = Δy/Δx
       Expresión que corresponde a la tangente del angulo de inclinación. m = tan α
b = Es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje y.

Una solución de una ecuación de este tipo corresponde a los valores de x y de y que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ejemplo.
En la ecuación y = 2x - 6 el par ordenado (5,4) es una de las tantas soluciones de la ecuación lineal, ya que al sustituir los valores hacen verdadera la igualdad.

y = 2x - 6

4 = 2.5 - 6

4 = 10 - 6 

4 = 4

Esta igualdad verifica que el punto de coordenadas cartesianas (5,4) pertenece a la línea recta y = 2x- 6
Como una línea recta está compuesta de infinitos puntos, entonces la ecuación lineal dada tiene infinitas soluciones.
Para construir la gráfica podemos usar el método de tabulación de valores.

MÉTODO 1
Mediante la tabulación de muchos valores

Formamos una tabla de datos dándole valores a la variable x y resolvemos para y.
En Y = 2X -6

si x = 1, entonces y = 2.(1) - 6 = -4

si x = 2, entonces y = 2.(2) - 6 = -2 . . .y así sucesivamente

X	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5. . .
Y	-12	-10	-7	-6	-4	-2	0	2	4. . .

Estos puntos los ubicamos en el plano cartesiano.

MÉTODO 2
Mediante la tabulación de los puntos de corte con los ejes X y Y

En este método aprovechamos la condición de línea recta y es que con sólo dos puntos de ella podemos hacer su gráfica y los más usados son los puntos de corte con los ejes X y Y

Reemplazando en la ecuación cuando X = 0

Y = 2X -6

Y = 2(0) - 6

Y = 0 - 6

Y = -6

Reemplazando en la ecuación cuando Y = 0

Y = 2X - 6

0 = 2X - 6

6 = 2X

6/2 = X

3 = X

X	0	3
Y	-6	0

Ubicamos este par de puntos en el plano cartesiano con la ventaja que tenemos su gráfica y los puntos de corte de la línea recta con los ejes X y Y.

Como se puede observar todos los puntos caen en una línea recta, es por eso que basta con graficar sólo dos puntos para poder obtener la línea recta, podemos destacar solamente las coordenadas en el origen.  

MÉTODO 3

Mediante la ubicación del intercepto con el eje Y y la pendiente

Este es un método que propongo para que una vez que se tenga la ecuación de la línea recta en la forma y = mx + b, sin necesidad de tabular y solamente analizando los valores de la pendiente m y el intercepto b con el eje Y podamos tener una idea inmediata sobre el comportamiento de la recta en el plano cartesiano. Ejemplo 1: Graficar y = 2/3 x + 1 La ecuación tiene tres informaciones importantes:  * El intercepto con el eje Y es b=1 * La pendiente es positiva * Su valor es m= + 2/3 Pasos para dibujar la gráfica Paso 1: Ubicamos en el eje Y el intercepto b=1                        Paso 2: A partir del intercepto graficamos la pendiente m = 2/3 El signo positivo indica que después de avanzar 3 unidades debemos subir 2 unidades Ejemplo 2: Graficar y = -3/4 x + 2 La ecuación de por sí tiene tres informaciones importantes:  * El intercepto con el eje Y es b=2. * La pendiente es negativa * Su valor es m= - 3/4 Pasos para dibujar la gráfica Paso 1: Ubicamos en el eje Y el intercepto b=2                        Paso 2: A partir del intercepto 2 graficamos la pendiente m = - 3/4 El signo negativo indica que después de avanzar 4 unidades debemos bajar 3 unidades Ejemplo 3: Graficar  y = 3/2 x  La ecuación tiene tres informaciones importantes:  * Aunque no se haya escrito, el intercepto con el eje Y es b=0, es decir pasa por el origen. * La pendiente es positiva * Su valor es m = 3/2 Pasos para dibujar la gráfica Paso 1: Ubicamos en el eje Y el intercepto b=0                        Paso 2: A partir del intercepto 0 graficamos la pendiente m = 3/2 El signo positivo indica que después de avanzar 2 unidades debemos subir 3 unidades    Ejemplo 4: Graficar y = 3 La ecuación tiene dos informaciones importantes:  * El intercepto con el eje Y es b=3 * Aunque no se haya escrito la ecuación la podemos ver de la forma y = 0x + 3, lo que indica que la pendiente es cero, o sea que es horizontal Pasos para dibujar la gráfica Paso 1: Ubicamos en el eje Y el intercepto b=0                        Paso 2: A partir del intercepto 3 graficamos la recta horizontal Es una línea recta cuya pendiente no es ni positiva ni negativa, es completamente horizontal   EJERCICIOS DE REPASO - MÉTODO INTUITIVO Favor dar click en el siguiente linck para trabajar algunos ejercicios y tomar práctica en la gráfica y construcción de ecuaciones lineales.

ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS

En muchas oportunidades es necesario hallar la ecuación de una línea recta a partir de dos puntos dados de ella en el plano cartesiano. Ejemplo: Hallar la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A = (- 3, -2) y B = (4,1) Solución: La idea es hallar la ecuación de la forma a función y = mx + b, teniendo en cuenta que b es el intercepto con el eje Y y m es la pendiente. La pendiente la hallamos a partir de los puntos dados, donde m = (Y2-Y1)/(X2-X1) m = (4 -(-3))/(1-(-2)) m = (4+3)/(1+2) m = 7/3 Una vez encontrada la pendiente nos encargamos de hallar el intercepto b, reemplazando uno de los puntos dados y la pendiente hallada en la ecuación y = mx + b; para nuestro ejemplo tomo el punto B = (4,1) teniendo en cuenta que x=4 y y=1 y = mx + b 1 = (7/3).4 + b 1 = 28/3 + b 1 - 28/3 = b 3/3 - 28/3 = b -25/3 = b Por lo tanto la ecuación de la recta que une los puntos A y B es y = 7/3 x - 25/3 EJERCICIOS DE REPASO Favor dar click en el siguiente linck para trabajar algunos ejercicios y tomar práctica en el cálculo de una ecuación lineal a partir de dos puntos dados en el plano cartesiano.

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